はとの備忘録

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熱力学の基礎 数学の定理4.1(ii)の証明がわからないというぼやき

お久しぶりです。新人はてなブロガーのはとです。

表題の通り、今回はわからないことをわからないとぼやきたいと思います。

示したいのは

区間Iにおいて上に凸な関数は、Iからたかだか可算個の点を除いた集合I*の上で連続的微分可能

 です。つまり凸関数は微分不可能な点があれど微分不可能な区間はないということです。まあ直感的に明らかなことですが、真面目に示そうとするとどうすればいいのやら・・・・・。

まあ単純に考えれば区間のすべてで微分不可能な関数は凸関数になり得ない、ということを示せばいいのですが。

 

ヒントを得るために、区間的に微分不可能な関数を作ってみましょう。微分不可能な点は角になっている部分なので、無限に角を作れば良さそうですね。

山折りを無限回すれば円弧になりますから、山折りだけで区間的に微分不可能な関数は作れそうにありませんね。ということは、山折りと谷折りを交互に無限回繰り返せば区間的に微分不可能な関数は作れそうです。

実際、微分不可能な連続関数はこのようになっていて、例えばワイエルシュトラス関数

があります。

 

このように定性的(言葉の使い方あってるか?)には理解できるのですが、証明せよ、と言われると、うまい方法が思いつかないのです・・・・・。

 

いい証明方法を思いつくことを祈るばかりです。

だらだらと書いてしまいましたが、今回はここまでといたしましょう。

それではまた。